If `g(x)=f(x)+1-x` , find the value of `g(2020)`

 It is given function `f(x)` determine on `R` , satisfied that:

            `f(1)=1`

            `f(x+5)\geqf(x)+5`

            `f(x+1)\leqf(x)+1`

If `g(x)=f(x)+1-x` , find the value of `g(2020)`   `\forallx,y\inR`

Solution

From the problem above, we had: 

            `f(x+5)\geqf(x)+5`

            `f(x+1)\leqf(x)+1`

We will have: `f(x)+5\leqf(x+5)\leqf(x+4)+1`

Meanwhile `f(x+4)\leqf(x+3)+1`

Then, `f(x)+5\leqf(x+1)+4\leqf(x)+5`

Thus, `f(x+1)+4=f(x)+5` or `f(x+1)-f(x)=1`

                `x=1`        `f(2)-f(1)=1`

                `x=2`        `f(3)-f(2)=1`

                .....................................

                .....................................

                `x=2019`    `f(2020)-f(2019)=1`

                                                                            

Plus side to side: `f(2020)-f(1)=2019`

Then, `f(2020)=2019+f(1)`  or `f(2020)=2020`

Let's `g(x)=f(x)+1-x`

  If `x=2020` then, `g(2020)=f(2020)+1-2020=1`

Hence, `g(2020)=1`