Prove that: `1/2+1/5+1/8+1/11+1/20+1/40+1/110+1/1640=1`

 1. Prove that: `1/2+1/5+1/8+1/11+1/20+1/40+1/110+1/1640=1`

Solution

We observe that: 

                            `1/2+1/5+1/8+1/11+1/20+1/40+1/110+1/1640`

                           `=1/2+1/20+1/5+1/8+1/11+1/110+1/20+1/1640`

                           `=22/40+13/40+11/110+41/1640`

                           `=22/40+13/40+4/40+1/40`

                           `=40/40=1`

Hence, `1/2+1/5+1/8+1/11+1/20+1/40+1/110+1/1640=1`

2. Find the minimum value of `A=|x-1|+|x-2|+|x-3|+.....+|x-100|`

Solution

We observe that: 

            `|x-k|+|x-(101-k)|``\geq``|101-2k|` while `|a|+|b|``\geq``|a-b|`

The equal case happens when `x\in``[x,101-k]`

For all `k=1,2,3,....,50` we will get that:

                                                        `|x-1|+|x-100|``\geq``99`

                                                        `|x-2|+|x-99|``\geq``97`

                                                         `|x-3|+|x-98|``\geq``95`

                                        `.................................................................` 

                                         `.................................................................` 

                                                          `|x-50|+|x-51|``geq``1`

Make the sum of side to side, we will get: 

                                                      `A\geq``99+97+95+......+1``=50/2(1+99)``=2500`

The equal case happens when `x\in``\cap[k,101-k]` which `1``\geq``k``\geq``501``=[50,51]`

Hence, the minimum value of `A=|x-1|+|x-2|+|x-3|+.....+|x-100|=2500`when `x\in``=[50,51]`

                                                `A_{min}=2500` when `x\in``=[50,51]`